電子基礎物理 試験問題
  2002/11/27 岡部 洋一

[問題]
以下の各問に答えよ。(100点満点)

1. 量子力学の状態は粒子性と波動性を併せ持つと言われているが、これはどう
   いう意味か、200字以内で定性的に説明せよ。(20点)
[解答] どんな量子も数えることができ(粒子性)、かつその発見確率のもとに
   は、干渉性を有する加算的な確率振幅なる概念を有していること。また、粒
   子として性質であるエネルギーと運動量が、波動としての性質である振動数
   と波数と Einstein, De-Broglie の関係で結びつけられる。

2. 同じ二原子からなる分子上の一電子について、それぞれの原子付近に局在す
   る電子状態を |1>、|2> として、次の各問に答えよ。単に答を示すのみ
   でなく、考え方も示せ。

   1) この二状態を基底状態として議論したい。この二状態に成立する式を示せ。
      (10点)
   [解答] E_0 を拘束エネルギー、h を Planck定数/2π とする場合、
	ih d<1|Ψ(t)>/dt=E_0<1|Ψ(t)>,
	ih d<2|Ψ(t)>/dt=E_0<2|Ψ(t)>

   2) |1>、|2> の間に遷移のある場合の Hamiltonian を示せ。(10点)
   [解答] 遷移の要素を A とするとき、
	ih d<1|Ψ(t)>/dt=E_0<1|Ψ(t)>+A<2|Ψ(t)>,
	ih d<2|Ψ(t)>/dt=A<1|Ψ(t)>+E_0<2|Ψ(t)>

   3) この系の定常状態を求めよ (固有値問題を解け)。複数ある場合にはエネ
      ルギーの低いものから二つを示せ。またこれら定常状態に対し、二つの場
      所での発見確率を図示せよ。(15点)
   [解答] 色々な解き方があるが、行列の固有値問題として解いておこう。
	ih d/dt(<1|Ψ(t)>)=(E_0   A)(<1|Ψ(t)>)
	       (<2|Ψ(t)>) (A   E_0)(<2|Ψ(t)>)
      と書ける。( ) は二行にわたると読んで欲しい。
      |Ψ(t)>=|Ψ>exp(E t/ih) と置くと、
	E(<1|Ψ>)=(E_0   A)(<1|Ψ>)
	 (<2|Ψ>) (A   E_0)(<2|Ψ>)
      となり、右辺の Hamiltonian 行列の固有値問題となる。
	|E_0-E      A| = 0
	|A      E_0-E|
      を解いて、E=E_h (=E_0+A) と E_l (=E_0-A) の二つの固有値が得られる 
      (二つのみ)。それぞれの固有値に対する固有状態 |E_h> および 
      |E_l> は、次のようである。
	<1|E_h>=1/√2		<1|E_l>=1/√2
	<2|E_h>=1/√2		<2|E_l>=-1/√2
      固有状態 (定常状態) |E_h> の二つの場所における発見確率は、1/2
      で一定。また |E_l> の二つの場所における発見確率も、1/2 で一定。
      (図示は略す)
 
   4) 二つの場所での発見確率が時間とともに変化するようにしたい。どのよう
      にしたらよいか、一つの典型例を示し、時間変化が分るように図示せよ。
      (10点)
   [解答] 二つの状態の混ざったものは、定常状態ではなくなり、時間と共に変
       化する。例えば、|Ψ(0)>=(|E_h>+|E_l>)/√2 とすると、
	|Ψ(t)>=[exp(E_h t/ih)|E_h>+exp(E_l t/ih)|E_l>]/√2
      となる。これから
	<1|Ψ(t)>=[exp(E_h t/ih)<1|E_h>+exp(E_l t/ih]<1|E_l>)/√2
		 =[exp(E_h t/ih)+exp(E_l t/ih)]/2,
	<2|Ψ(t)>=[exp(E_h t/ih)<2|E_h>+exp(E_l t/ih)<2|E_l>]/√2
		 =[exp(E_h t/ih)-exp(E_l t/ih)]/2,
      さらに、
	P(Ψ(t)→1)=[1+cos(E_h-E_l)t/h)]/2,
	P(Ψ(t)→2)=[1-cos(E_h-E_l)t/h)]/2
      となり、それぞれ、補完的に変動する(図示略)

3. 極めて深い井戸型ポテンシャル (0<x<L で V=0、その他では ∞) 中の電子
   について、次の各問に答えよ。単に答を示すのみでなく、考え方も示せ。
   1) Schroedinger の方程式を示せ。(10点)
   [解答] E_0 を拘束エネルギーとする場合、
	ih d<x_|Ψ(t)/dt=-(h^2/2m)∂^2<x_|Ψ(t)>/∂x^2 (井戸内),
	<x_|Ψ(t)>=0 (井戸外)
      もちろん、<x_|Ψ(t)> を Ψ(x,t) と書いてもよい。

   2) この系の定常状態を求めよ。複数ある場合にはエネルギーの低いものから
      二つを示せ。またこれら定常状態に対し、発見確率を場所の関数として、
      図示せよ。(15点)
   [解答] まず <x_|Ψ(t)>=exp(E t/ih)<x_|Ψ> とすると、微分方程式は
	E<x_|Ψ>=-(h^2/2m)d^2<x_|Ψ>/dx^2 (井戸内)
	<x_|Ψ>=0 (井戸外)
      となる。上の式から正弦波の解が得らえるが、x=0, L で <x_|Ψ>=0 とな
      る解を探すと、次のようになる。
	<x_|E_n>=sin(nπx/L)/√(L/2), n=1,2,...
	E_n=(1/2m)(nπh/L)^2
	p(E_n→x)=sin^2(nπx/L)/(L/2)
      このうち、n=1,2 の解を採用すればよい。0〜L に n個のコブのある形に
      なる (具体的な解答は略。また図示略)。

   3) 二つの場所での発見確率が時間とともに変化するようにしたい。どのよう
      にしたらよいか、一つの典型例を示し、時間変化が分るように図示せよ。
      (10点)
   [解答] 複数の状態の混ざったものは、定常状態ではなくなり、時間と共に変
      化する。例えば、|Ψ_(0)> = (|E_1>+|E_2>)/√2 とすると、
	|Ψ(t)> = [exp(E_1 t/ih)|E_1>+exp(E_2 t/ih)|E_2>]/√2
      となる。これから
	<x_|Ψ(t)>=[exp(E_1 t/ih)<x_|E_1>+exp(E_2 t/ih)<x_|E_2>)/√2
		=[exp(E_1 t/ih)sin(πx/L)+exp(E_2 t/ih)sin(2πx/L)]/√(L/2)
      さらに、
	P(Ψ(t)→x)=sin^2(πx/L)+sin^2(2πx/L)
	    +2cos[(E_2-E_1)t/ih]sin(πx/L)sin(2πx/L)
      となり、コブが左に寄ったり、右に寄ったりして振動する(図示略)。